Materi Himpunan

A. Pengertian Himpunan

Dalam matematika konsep himpunan termasuk konsep yang tidak didefinisikan (konsep dasar). Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Perkataan himpunan digunakan di dalam matematika untuk menyatakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. lstilah didefinisikan dengan jelas dimaksudkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

Contoh 1.1

Kumpulan yang bukan merupakan himpunan

a. kumpulan makanan lezat

b. kumpulan batu-batu besar

c. kumpulan lukisan indah

Ketiga contoh kumpulan di atas bukan merupakan himpunan sebab anggotaanggotanya tidak didefinisikan dengan jelas.

Contoh 1.2

Kumpulan yang merupakan himpunan

a. kumpulan negara-negara Asean

b. kumpulan sungai-sungai di Indonesia

c. kumpulan bilangan asli genap

d. Penduduk Jawa Tengah

B. Keanggotaan Himpunan

Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, D, dan seterusnya. Jika A adalah himpunan yang anggotanya a, b, dan c, maka dapat ditulis A = {a, b, c}. Jelas bahwa c anggota himpunan A, dapat ditulis c  A, demikian juga a A dan b A. Tetapi d bukan anggota himpunan A dan dapat ditulis d A.

C. Cara Menyatakan Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan

a. menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar;

b. menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau

c. notasi pembentuk himpunan.

Contoh 1.3

a. Menyebutkan anggota-anggotanya/cara tabulasi/cara mendaftar;

A = {1,3,5,7)

B = {0,2,4,6,8, ...}

C = {Senin, Selasa, Sabtu}.

b.  Menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau

B = Himpunan bilangan cacah genap,

C = Himpunan nama-nama hari yang diawali huruf s.

c.  Notasi pembentuk himpunan.

A = {x| x < 8, x bilangan asli ganjil}

B = {x| x bilangan cacah genapl}

C = {x| nama-nama hari yang diawali huruf s} A = Himpunan empat bilangan ash ganjil yang pertama,

Latihan 1

1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan.

    b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan.

2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan berikut benar,

kemudian berikan alasannya.

 a. p   B

b. {q}   B,

c. r   B,

d. s   B.

3. Tulislah himpunan berikut dengan tabulasi.

a. A = {x^2 = 25}

b. B = {x| x + 3 = 3}

c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}

d. A = {x| 0 < x < 5, x bilangan real}

4. Tulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotanya.

a. E = {a,i,u,e,o}

b. F = {2,3,5,7,11}

c. G = {3,6,9,12, …}

d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.

5. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan bilangan asli yang:

a. kurang dari 5,

b. Iebih dari atau sama dengan 3,

c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan

d. prima.

6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar

a. J= {x| x > 0, x   himpunan bilangan bulat}

b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}

c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah}

(Sumber : Buku Bahan Ajar Pengantar Dasar Matematika oleh Haris Kolengsusu, S.Pd, M.Cs)

 Jawab :

1.   a. Kumpulan yang bukan merupakan Himpunan

•  Kumpulan siswa tinggi

•  Kumpulan orang pintar

• Kumpulan minuman enak

      b. Kumpulan yang merupakan Himpunan

• Kumpulan binatang berkaki empat

•  Kumpulan pria dengan tinggi 150 meter.

• Kumpulan orang-orang cacat

2.  a.  p ϵ B  

          jawab : benar, karena p merupakan anggota himpunan B

     b. {q} ϵ B

          jawab : salah,

     c.  r ϵ B 

          jawab : benar, karena r merupakan anggota himpunan B

     d. s ϵ B 

         jawab : salah, karena s bukan merupakan anggota himpunan B

3.  a.   A = {x² = 25}

            Jawab : A = {5}

     b.   B = {x| x + 3 = 3}

                 Jawab : B = {0}

    c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}

                Jawab : A = {5, 7, 9, 11, 13, …}

    d. A = {x| 0 < x < 5, x bilangan real}

               Jawab : A = {…   …}

 

4.  a. E = {a,i,u,e,o}  

                Jawab : E himpunan huruf vocal

     b. F = {2,3,5,7,11}

               Jawab : F himpunan bilangan prima

     c. G = {3,6,9,12, …} 

                Jawab : G himpunan bilangan perkalian 3

     d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}. 

               Jawab : H himpunan bilangan ...

5. a. kurang dari 5,

    Jawab : A = {x| x < 5, x bilangan asli}

    b. Iebih dari atau sama dengan 3,

         Jawab : B ={x| x ≥ 3, x bilangan asli}

 

    c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan

         Jawab : C = { x| x kelipatan 5 kurang dari 50}

   d. prima. 

         Jawab : D = { x | x bilangan prima }

6.  a. J= {x| x > 0, x ϵ himpunan bilangan bulat}

        Jawab : Salah

     b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}

               Jawab : Benar

     c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah} 

              Jawab : Benar