Macam-Macam dan Relasi Himpunan

A. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.  Himpunan kosong dinyatakan dengan   atau { }.

Contoh 1.4

Himpunan di bawah ini manakah yang merupakan himpunan kosong. 

a. A = Himpunan bilangan prima genap

b. B = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua

c. C = Himpunan segitiga samakaki yang tumpul

d. D = Himpunan persegi panjang yang merupakan belah ketupat.

e. E = {x| x ≠ x}

f. F = {x| x^2+4 = 0, x bilangan real}

Himpunan tersebut tersebut di atas yang merupakan himpunan kosong adalah B, E, F, sedangkan himpunan A, C, dan D bukan himpunan kosong. 

B. Himpunan   Berhingga  dan Tak Berhingga 

Dilihat dari kardinalitasnya suatu himpunan ada yang merupakan himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga. Suatu himpunan disebut himpunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, maka proses penghitungannya dapat berakhir. Sebaliknya suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan tertentu. Atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung maka proses penghitungannya tidak dapat diakhiri.

Contoh 1.5

1. Himpunan berhingga 

a. K = Himpunan nama hari dalam seminggu

b. L = {x|x < 100, x bilangan cacah ganjil}

c. P = {x| x negara - negara Asean}

d. Q = {x| x penduduk Indonesia} 

2. Himpunan tak berhingga

a. R = Himpunan bilangan asli

b. L = Himpunan bilangan cacah kelipatan 5 

c. P = {x| x > I00, x bilangan bulat}

d. Q = {x| x bilangan bulat genap} 

C. Himpunan di Dalam Himpunan 

Gambar 1.1 

Pada gambar13.1 semua anggota A ada di dalam himpunan B, maka A disebut 

himpunan bagian dari B, ditulis A B dibaca A himpunan bagian dari B.

Definisi  

Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A B jika dan hanya jika

untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis  

Dari definisi 3.2 dapat dikatakan bahwa A disebut bukan himpunan bagian dari B

jika dan hanya jika ada x anggota A dan x bukan anggota B. Dapat ditulis A B jhj  

x A dan x B.

Contoh 1.6

Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,3,5}, C = {2,4,6}, D = {3,4,5,6,1,2}, dan

E = {5,6,7}. Manakah pernyataan di bawah ini yang benar. 

 a. B A        d. E A        g. A A

 b. A C        e. A D        h. {} A

 c. D A        f.  E C        i.   B 

Jawab:

Pernyataan yang benar adalah a, c, d, e, f, g, h, dan i.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

1. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

2. Jika A himpunan maka A A. 

D. Himpunan Bagian Sejati  

Definisi

A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A B dan B A. 

Contoh 1.7

Diketahui A={0,2,4,6}, B={0,2,4,6,8}, dan C={xl x bilangan cacah genap kurang dari

9}. 

Jelas bahwa:

1) A himpunan bagian sejati B 

2)   bukan himpunan bagian sejati C

Dalam beberapa buku sebutan A himpunan bagian sejati B ditulis dengan A B dan

sebutan C himpunan bagian sejati D dirulis dengan C D. 

E. Dua Himpunan yang Sama  

Definisi

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan

hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota-anggota B artinya

setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis:  

Dari definisi 3.4 dapat disimpulkan bahwa:

A≠B jhj A B atau  B A. 

Contoh 1.8

Diketahui himpunan A = {1,3,5,7,9), B ={2,4,6,8,10), dan C = {7,3,9,1,5). Banyaknya

anggota himpunan A ditulis dengan n(A), sehingga:

a) A = C dan n(A) = n(C) 5, dan

b) n(A) =  n(B) = 5 tetapi A≠B.

I. Dua Himpunan yang Ekivalen

Definisi

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis A∞B jika dan 

hanya jika:

1. n(A) = n(B), untuk A dan B  himpunan berhingga.

2.  A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga

Contoh 1.9

Diketahui A = {3,6,9,12,15}, B = {12,9,6,3,15), dan C = {2,3,5,7,11}, maka:

a) A=B dan A B

b) n(A) = n(C) tetapi A≠C.

Contoh 1.10

Diketahui N = {1,2,3,4,5 …}, C = {0,1,2,3,4 …}, N C sebab N dan C

berkorespondensi satu-satu. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:

N :  1,   2,   3,   4,   …,   n,   …

C :  0,   1,   2,   3,   …,   (n-1),   …

F. Himpunan Kuasa

Definisi

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua

himpunan bagian dari himpunan A ditulis 2

Contoh 1.11

a. A =  {2,4}, maka n(A) = 

   2A = {   {2}, {4}, {2,4}}, n(2A)=4 

b. B = {1}, maka n(B) = 1 

    2B= { , {1}}, n(2B) = 2

c. C = {1,3,5), maka n(C) = 3

    2C = { , {1}, {3}, {5}, {1,3), {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}, n(2C) = 8.

Dari contoh 1.11 dapat disimpulkan

Jika A adalah himpunan, n(A)=k, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A

ditulis n(2A) = 2k

Latihan Soal

1. Misalkan A = {a,b,c,d} 

a. Tulislah semua himpunan bagian dari A

b. Berapakah banyaknya himpunan bagian dari A.  

2. Apakah setiap himpunan mempunyai himpunan bagian sejati?

3. Misalkan P adalah himpunan, Jika P  , buktikanlah bahwa P= .

4. Misalkan A, B, dan C masing-masing adalah himpunan, jika A B dan B C, buktikan 

bahwa A C.

5. Misalkan A ={{3}, {4,5), {1,3}}, pernyataan-pernyataan manakah yang benar? 

Mengapa?

 a. {1,3} A     c. {3} A     b. {4,5} A      d. {{1,3}} A

6. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang sama?

 a. {a,b,c} b. {c,b,a,c} d. {b,c,b,a} d. {c,a,c,b}

7. Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang sama?

 a. {x|x

2

 - 3x + 2 = 0, x bilangan real),

 b. {1,2,1,2},

 c. {x| x dua bilangan asli yang pertama}.

8. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang himpunan kosong? 

a. {x I x bilangan, prima genap},

b. {x I x bilangan ganjil yang habis dibagi 2},

c. {x I x2 — 3x + 5 = 0, x bilangan real),

d. {xix+ 8=8},

e. {x x + 4 1; X Miamian nen,

f. {x x segitiga sama kaki tumpul},

g. {x Ix persegi panjang yang belah ketupat},  

9. Himpunann manakah yang berhingga dan takberhingga?

a. {1,2,3,...,10.000),

b. {x| x bilangan genap},

c. {penduduk bumi},

d. {1,2,3,...}. 

10. Diketahui B = {1,3,5,7}. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar.

 a. {1,3} 2B

 c. {} 2B

 e. {3,7} 2B

 b. B 2B

 d. B 2B

 f. {{5,7}} 2B

11. Diketahui A = {1,2,3,4,5,...}, B =- {2,4,6,8,...}, dan C = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...}. Tujukkan

bahwa: 

 a. A B b. A C

12. Diketahui M = {x| x bilangan asli genap kurang dari 100}, N = {x| x bilangan cacah 

ganjil kurang dari 99}. Apakah MN? Jelaskanlah!

13. Diketahui A = himpunan segi empat; B = himpunan persegi panjang; C = himpunan 

persegi; dan D = himpunan belah ketupat. Nyatakan dalam diagram Venn! 

(Sumber : Buku Bahan Ajar Pengantar Dasar Matematika oleh Haris Kolengsusu, S.Pd, M.Cs)

Read More

Materi Himpunan

A. Pengertian Himpunan

Dalam matematika konsep himpunan termasuk konsep yang tidak didefinisikan (konsep dasar). Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Perkataan himpunan digunakan di dalam matematika untuk menyatakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. lstilah didefinisikan dengan jelas dimaksudkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

Contoh 1.1

Kumpulan yang bukan merupakan himpunan

a. kumpulan makanan lezat

b. kumpulan batu-batu besar

c. kumpulan lukisan indah

Ketiga contoh kumpulan di atas bukan merupakan himpunan sebab anggotaanggotanya tidak didefinisikan dengan jelas.

Contoh 1.2

Kumpulan yang merupakan himpunan

a. kumpulan negara-negara Asean

b. kumpulan sungai-sungai di Indonesia

c. kumpulan bilangan asli genap

d. Penduduk Jawa Tengah

B. Keanggotaan Himpunan

Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, D, dan seterusnya. Jika A adalah himpunan yang anggotanya a, b, dan c, maka dapat ditulis A = {a, b, c}. Jelas bahwa c anggota himpunan A, dapat ditulis c  A, demikian juga a A dan b A. Tetapi d bukan anggota himpunan A dan dapat ditulis d A.

C. Cara Menyatakan Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan

a. menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar;

b. menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau

c. notasi pembentuk himpunan.

Contoh 1.3

a. Menyebutkan anggota-anggotanya/cara tabulasi/cara mendaftar;

A = {1,3,5,7)

B = {0,2,4,6,8, ...}

C = {Senin, Selasa, Sabtu}.

b.  Menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau

B = Himpunan bilangan cacah genap,

C = Himpunan nama-nama hari yang diawali huruf s.

c.  Notasi pembentuk himpunan.

A = {x| x < 8, x bilangan asli ganjil}

B = {x| x bilangan cacah genapl}

C = {x| nama-nama hari yang diawali huruf s} A = Himpunan empat bilangan ash ganjil yang pertama,

Latihan 1

1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan.

    b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan.

2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan berikut benar,

kemudian berikan alasannya.

 a. p   B

b. {q}   B,

c. r   B,

d. s   B.

3. Tulislah himpunan berikut dengan tabulasi.

a. A = {x^2 = 25}

b. B = {x| x + 3 = 3}

c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}

d. A = {x| 0 < x < 5, x bilangan real}

4. Tulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotanya.

a. E = {a,i,u,e,o}

b. F = {2,3,5,7,11}

c. G = {3,6,9,12, …}

d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.

5. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan bilangan asli yang:

a. kurang dari 5,

b. Iebih dari atau sama dengan 3,

c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan

d. prima.

6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar

a. J= {x| x > 0, x   himpunan bilangan bulat}

b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}

c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah}

(Sumber : Buku Bahan Ajar Pengantar Dasar Matematika oleh Haris Kolengsusu, S.Pd, M.Cs)

 Jawab :

1.   a. Kumpulan yang bukan merupakan Himpunan

•  Kumpulan siswa tinggi

•  Kumpulan orang pintar

• Kumpulan minuman enak

      b. Kumpulan yang merupakan Himpunan

• Kumpulan binatang berkaki empat

•  Kumpulan pria dengan tinggi 150 meter.

• Kumpulan orang-orang cacat

2.  a.  p ϵ B  

          jawab : benar, karena p merupakan anggota himpunan B

     b. {q} ϵ B

          jawab : salah,

     c.  r ϵ B 

          jawab : benar, karena r merupakan anggota himpunan B

     d. s ϵ B 

         jawab : salah, karena s bukan merupakan anggota himpunan B

3.  a.   A = {x² = 25}

            Jawab : A = {5}

     b.   B = {x| x + 3 = 3}

                 Jawab : B = {0}

    c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}

                Jawab : A = {5, 7, 9, 11, 13, …}

    d. A = {x| 0 < x < 5, x bilangan real}

               Jawab : A = {…   …}

 

4.  a. E = {a,i,u,e,o}  

                Jawab : E himpunan huruf vocal

     b. F = {2,3,5,7,11}

               Jawab : F himpunan bilangan prima

     c. G = {3,6,9,12, …} 

                Jawab : G himpunan bilangan perkalian 3

     d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}. 

               Jawab : H himpunan bilangan ...

5. a. kurang dari 5,

    Jawab : A = {x| x < 5, x bilangan asli}

    b. Iebih dari atau sama dengan 3,

         Jawab : B ={x| x ≥ 3, x bilangan asli}

 

    c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan

         Jawab : C = { x| x kelipatan 5 kurang dari 50}

   d. prima. 

         Jawab : D = { x | x bilangan prima }

6.  a. J= {x| x > 0, x ϵ himpunan bilangan bulat}

        Jawab : Salah

     b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}

               Jawab : Benar

     c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah} 

              Jawab : Benar

Read More